طی چند روز گذشته بحثهای فراوانی در خصوص امکان و احتمال تقلب در انتخابات ایران بعمل آمده است. با توجه به اینکه بازشماری آراء کاری پرزحمت برای دستگاه اجرایی و نظارتی انتخابات خواهد بود باید، کاندیداهای معترض شواهد و مستندات قابل قبولی را به این مراجعه اعلام نمایند تا دستکاری در نتایج انتخابات را آشکارا نشان دهد. راههای علمی زیادی وجود دارد که با استفاده از آمارهای اعلام شده توسط وزارت کشور این دستکاری ها در صورت وجود به نمایش گذاشته شود و يا صحت انتخابات از لحاظ شاخصهاي علمي آمار بررسي شود.
صحبت از تقلب در انتخابات تنها یک موضوع مختص به ایران و حتی کشورهای در حال توسعه نظیر ونزوئلا، مکزیک، و زیمباوه نیست و در سال 2000 شاهد بودیم که بحث تقلب در انتخابات ریاست جمهوری در ایالت فلوریدا به موضوع داغ آنروزها بدل شده بود. به هر حال آنچه مسلم است آنکه اهمیت سیاست و موضوع تقلب در انتخابات سبب شده که دانشمندان علم آمار با استفاده از کمترین داده های موجود از انتخابات روشهای آماری را طراحی کنند که با کمک آن بتوان با صراحت در مورد سلامت انتخابات اظهار نظر نمایند. یکی از معمول ترین این روشها روشی است که از قانون بن فورد (Benford’s Law) پیروی میکند. بطور خیلی مختصر و قابل درک برای خوانندگان این قانون به آن اشاره دارد که رقمهای مربوط به یک عدد (خواه یک رقمی یا بیش از یک رقمی) حاصل از شمارش یک پدیده در جهان خارج (جهان واقعی) از توزیع نرمال (Normal distribution) یا توزیع یک فرم (Uniform distribution) پیروی نمیکند بلکه از توزیعی شبیه توزیع Chi Square پیروی میکند. آقای بنفورد احتمال این اعداد را برای حوادثی چون انتخابات محاسبه کرده است. قابل ذکر است که اعداد ذکر شده در قانون بنفورد همانند قوانین نیوتن یک واقعیت علمی است و در حال حاضر علاوه بر مسئله انتخابات، برای رسیدگی به احتمال تقلب در سود سهام شرکتها و مسائل مالیاتی نیز از همین روش استفاده میشود.
اجازه بدهید چند خط از این مقاله را به توضیح ساده این قانون بپردازيم. در این قانون احتمال اینکه آخرین عدد سمت چپ یک عدد (فرض کنید تعداد آراء اخذ شده به نفع یک کاندیدا) که میتواند یکی از اعداد 1 تا 9 باشد با هم برابر نیست. بلکه احتمال آنکه رقم سمت چپ یک عدد، 1 باشد حدود 30% است در حالی که این احتمال برای عدد 9 در حدود 4.5%. همچنین است احتمال وجود عدد 0 تا 9 برای دومین رقم سمت چپ تعداد آراء اخذ شده به نفع یک کاندیدا كه آن نيز از قانون ديگري پيروي ميكند.
طبق اين قانون احتمال ظهور اعداد در رقم اول از رابطه 1 تبعيت ميكند:




براي اينكه اهميت قانون بنفورد بهتر ديده شود، جدول 3 كه شامل مثالهايي از طبيعت و تطابق آن با قانون بن فورد است، نشان داده شده است.

آزمون رقم اول



(2)


همان گونه كه ديده ميشود، بيشترين خطاي نسبي 0.07 مي باشد، كه با توجه به تعداد نه چندان زياد دادهها (366 شهرستان) نتيجه بسيار خوبي براي اعتبار نتايج است.
آزمون رقم دوم
براي بررسي دقيق تر صحت اعداد اعلام شده، گاهي اوقات رقم دوم اعداد را نيز بررسي ميكنند و براي صحت نتايج آن را با پيشبيني بنفورد ميسنجند. اگر آمار ارائه شده وزارت كشور را براي نتايج آراي نامزدها در شهرستانها بررسي كنيم برای توزیع اعداد در رقم دوم، نتايج زير به دست ميآيد.




آزمون رقم سوم
اگر بخواهيم حد اطمينان را افزايش دهيم، ميتوان تمامي اين محاسبات را براي رقم سوم نيز تكرار كرد، البته براي اين منظور بايد از معيار رقم سوم بنفورد استفاده كرد. با ادامه محاسبات براي بررسي نهايي، جداول و نمودارهاي ذيل خواهند آمد. شايان ذكر است در اين آزمون از اطلاعات مربوط به يكي از نامزدها به علت اينكه بسياري از آرا ايشان در شهرستانها دو رقمی و فاقد رقم سوم بود، حذف گرديده است.



جدول 11- نسبت تكرار اعداد 0،1،2،3…،9 در سومين رقم سمت چپ تعداد آراي هر نامزد در 366 شهرستان

همانگونه كه ديده ميشود، بيشترين خطاي نسبي براي اين آزمون 0.03 مي باشد، كه اين ميزان نيز با توجه به تعداد نه چندان زياد دادهها (366 شهرستان) نتيجه بسيار خوبي براي اعتبار نتايج است.
نتيجه گيري نهايي
منابع و مراجع
1. پايگاه اينترنتي وزارت كشور www.moi.ir
2. “Detecting Problems in Survey Data using Benford’s Law”, George Judge, University of California at Berkeley, Laura Schechter, University of Wisconsin at Madison, November 1, 2007
3. “The Effective Use of Benford’s Law to Assist in Detecting Fraud in Accounting Data”, Cindy Durtschi,William Hillison, Carl Pacini, Journal of Forensic Accounting, Vol. V 2004, pp 17-34
4. “Election Forensics: Vote Counts and Benford’s Law”, Walter R. Mebane, Jr., July 17, 2006
5. http://mathworld.wolfram.com/Chi-SquaredTest.html
6. http://mathworld.wolfram.com/BenfordsLaw.html
7. http://en.wikipedia.org/wiki/Benford’s_law
8. http://en.wikipedia.org/wiki/Chi-square_distribution
9. http://en.wikipedia.org/wiki/P-value
*پژوهشگر – کارشناس ارشد دانشگاه شریف